Documento extraído de la revista SIGMA, Del Colegio de Ingenieros
Civiles de Pichincha. De abril del 2005.
Autor del artículo: Dr. Ing.Roberto Aguiar Falconí.
ANALISIS DE PUNTOS NOTABLES DEL DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA Y NIVELES DE
DAÑO EN VIGAS
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RESUMEN:
Se analizan las deformaciones y esfuerzos en el hormigón y en el acero
para cada uno de los puntos notables del diagrama Momento-Curvatura y se define
para el rango inelástico cuatro niveles de daño, todo esto para un elemento que
trabaja a flexión. La explicación teórica se complementa con el desarrollo de
dos ejemplos.
Es importante conocer lo que implica trabajar en el análisis no lineal
con un modelo trilineal y con un modelo en base a
cuatro puntos para definir las diferentes rigideces a
flexión. De igual forma es fundamental conocer en que nivel de daño se
encuentra una viga cuando se hace el diseño por capacidad.
1. INTRODUCCiÓN
El diagrama Momento Curvatura M - Ø de una sección de hormigón armado se
obtiene en función de los modelos constitutivos del hormigón y del acero.
Además de que depende de la geometría y del refuerzo longitudinal y transversaL Este diagrama es la base para definir un modelo
histerético para el análisis no lineal.
La deformación del hormigón Ec,
varía desde cero hasta la deformación máxima útil Eu,
para cada una de estas deformaciones se obtiene un punto del diagrama M - Ø en
forma iteractiva, imponiéndose una profundidad del
eje neutro c, de tal manera que el eje neutro final debe satisfacer dos
condiciones a saber: equilibrio de fuerzas y equilibrio de momentos en la
sección analizada.
De este diagrama M - Ø se acostumbra definir tres puntos notables que
son: el A que se alcanza cuando el
hormigón que trabaja a tracción llega a la máxima resistencia, el punto Y que se obtiene cuando el acero que
trabaja a tracción llega a la fluencia y el punto U se obtiene cuando el hormigón llega a la deformación máxima útil
o el acero llega a la rotura.
En este trabajo se ve la necesidad de incorporar otro punto notable al
diagrama. M - Ø, que es el punto S, el mismo que se alcanza cuando el
acero termina la plataforma de fluencia y se inicia la zona de endurecimiento.
Posteriormente se verá que con la incorporación de este punto se modela de
mejor forma el diagrama momento curvatura.
Para fines prácticos el punto A
no tiene mayor importancia pero si lo tienen los otros puntos y lo que interesa
en el presente estudio es conocer cual es el nivel de esfuerzos que se tiene en
el hormigón cuando se alcanza el punto Y
o el punto S. Interesa conocer si
realmente el hormigón llega a la deformación máxima útil Eu
o si el acero llega a la deformación de rotura fsu
cuando se está buscando el punto U.
Por otra parte, en el análisis sísmico por desempeño, Aguiar (2003) se
definen cuatro niveles de daño a nivel de la estructura que se les conoce con
el nombre de daño: leve, moderado, extensivo y completo. Ahora interesa definir
estos niveles de daño pero a nivel de una sección de un elemento, tema que es
abordado al final de éste artículo y saber en cual de estos niveles se está
trabajando cuando se diseña el refuerzo transversal de una viga por capacidad o
cuando se realiza el control del cortante horizontal en un nudo.
2. VIGA DE ANALISIS Y MATERIALES
Se analiza el desempeño de una viga de 20cm., de base y 30cm. de altura,
la misma que tiene una armadura longitudinal compuesta por 2 Ø de 16mm., en la
parte inferior y 3 Ø de 16mm., en la parte superior, el recubrimiento de esta
sección es de 4cm. Por otra parte, se ve el desempeño para dos casos, primero
cuando el refuerzo transversal es un estribo de 10mm., de diámetro espaciado
cada 10 cm., y segundo cuando este refuerzo es de 10mm., pero el espaciamiento
es de 20cm. El análisis se lo va a realizar cuando el refuerzo superior trabaja
a tracción.
El hormigón utilizado tiene una resistencia a la compresión f'c = 210 Kg / cm2
y un acero con un límite de fluencia de:fy=
4200 Kg/cm2.
Se considera el modelo de Park et al (1982)
para definir el comportamiento del hormigón. Este modelo contempla incremento
de resistencia y de ductilidad por efecto del refuerzo transversal.
Precisamente en la figura 1 se aprecia las dos curvas que se obtienen
para el hormigón para los dos casos de armadura transversal. Si bien el
refuerzo transversal es de 10mm., de diámetro se tiene diferente espaciamiento
a 10 Y 20 cm.
Figura 1 Curvas constitutivas del hormigón
para los dos casos analizados
El punto de máxima resistencia del hormigón está definido por un valor
de kf’c, y está asociado a una
deformación kEo, Donde k es un
factor que toma en cuenta la relación entre el volumen de refuerzo transversal
al volumen de hormigón confinado, pv, la fluencia del refuerzo transversal fyv y
la resistencia a la compresión f’c está definido por la ecuación
(1). El modelo de Park et al (1982) considera la
parábola de Hognestad et al (1955) para la zona ascendente
claro está con los cambios ya indicados en cuando al incremento de resistencia
y deformación. Luego de que se llega a la resistencia máxima considera una
variación lineal hasta la deformación máxima útil. Las ecuaciones del modelo
son:
Nótese en la figura 1, que únicamente al variar el espaciamiento de los
estribos, .s, la deformación máxima útil Eu
prácticamente se duplica y la
resistencia se incrementa en más del 10 %. Esto debe llevar a la reflexión de
que en las construcciones no se debe tratar de ahorrar colocando estribos de
diámetro pequeño muy espaciados. Las curvas constitutivas marcan la misma
tendencia cuando se utiliza estribos de 8 mm. de diámetro, lógicamente la resistencia es menor.
Aguiar (2000) realizó un estudio del comportamiento de las varillas que
estaban produciendo en ese año las compañías ANDEC y ADELCA, que son los dos
fabricantes de acero en el Ecuador. De dicho estudio se obtuvo la curva
promedio que es la que se presenta en la figura 2 y es la que se utilizó en el
presente trabajo.
En la figura 2 se aprecia que el punto de fluencia está asociado a una
deformación Ey = 0.0021 que la deformación al inicio
de la zona de endurecimiento Esb = 0.015
asociado al valor del 0", se tiene el punto notable S que interesa mostrar la importancia de incluir en los diagramas M
- Ø.
Figura 2 Modelo trilineal
utilizado en el estudio
La deformación de rotura del acero Esb =
0.0651 está relacionado a un esfuerzo máximo fsu =
6.430 Kg / cm2. Las ecuaciones que definen estas tres
rectas del comportamiento del acero, son:
donde Es es el
módulo de elasticidad en el rango elástico y Esh es
el módulo de elasticidad en la zona de endurecimiento, las restantes variables
han sido ya definidas.
3. IMPORTANCIA DE INCLUIR EL PUNTO "S"
Los diagramas M - Ø se obtuvieron utilizando la versión 2 del programa CEINCI1.
desarrollado por Aguiar (2003) y los resultados
obtenidos para el caso en que los estribos son de 10 mm.
de diámetro y están espaciados cada 10 cm., se indican
en la figura 3, en la cual se muestra la curva completa para cada una de las
deformaciones del hormigón, el modelo trilineal que
solo considera los puntos: A, Y, U y el modelo en base a los cuatro puntos
notables: A, Y, S, U.
En la figura 3 se aprecia que prácticamente se confunden las curvas (1)
Y (3) que corresponden a la curva completa que sería la exacta y la curva
aproximada en base a los cuatro puntos notables.
Figura 3
Comparación de los diagramas M - Ø
El considerar el punto S tiene por objeto disminuir notablemente la rigidez cuando se
tiene el punto Y para luego
incrementarla en la zona de endurecimiento. Al considerar únicamente los tres
puntos notables se tendría que la rigidez a flexión El para cuando se
supera la fluencia vale:
Es decir que una vez que se alcanza el momento de
fluencia M" la rigidez de la sección disminuye al valor de 10.8381 Tm2.
En cambio si se consideran cuatro puntos en el diagrama momento curvatura se
debe trabajar con los siguientes valores de rigidez a flexión cuando se llega a
la fluencia.
Al considerar el punto S en el diagrama M - Ø la rigidez luego de haber alcanzado el
momento de fluencia My se reduce primero a 3.2857 Tm2
y luego se incrementa a 125479 Tm2.
En la figura 3 se aprecia que el modelo de 4 puntos
se aproxima mejor a la curva exacta y se ha visto como afecta este cambio en la
evaluación de la rigidez a flexión después de que se alcanza el momento de
fluencia My razón por la cual es importante incluir
en el diagrama M - Ø el punto S.
4.
DEFORMACIONES ASOCIADAS CON LOS PUNTOS NOTABLES
Interesa conocer cual es la deformación y el nivel de esfuerzos que se
presenta en el hormigón cuando se alcanza el punto Y, el punto S, y cuando se
llega al punto U interesa saber si el hormigón llegó a la deformación máxima
útil Eu o si el acero alcanzó la deformación de
rotura Esu.
En la figura 4 en abscisa se presenta la deformación del concreto Ec, y en ordenadas la deformación del acero Es Se indican
las deformaciones asociadas para los puntos notables del caso 1 en que los
estribos están cada 10 cm. Se aprecia que en el punto Y la deformación del acero es menor que la deformación Eo, en el punto S
esta deformación llega a Eo y que en el punto U no se alcanzó la deformación Eu debido a que el acero llegó primero Esu.
En el caso 1, el valor de k = 1.4046, Eo=0.002809,
Eu = 0.0322 Y Z = 27.1828. Nótese que el valor de
Eu está muy distante del valor 0.003 que se utiliza
en el diseño.
Figura 4 Deformaciones en el hormigón y en el
acero par los puntos notables para el caso 1
En la figura 5 se indican los puntos notables en el modelo constitutivo
del hormigón, se aprecia que el punto Y
se halla en la zona ascendente a un nivel de esfuerzos aproximadamente igual a
0.7 de la máxima resistencia a la compresión, el punto S está asociado a la máxima resistencia a la compresión y el punto U se quedó en la zona descendente.
Para el caso 2, en que los estribos se colocan a 20cm.
,los valores son: Eo = 0.0024, Eu = 0.0126, Z = 78.2218 Y k = 1.2022. En este caso
el punto U si se alcanzó cuando el
hormigón llegó a la deformación máxima Eu como se
aprecia en la figura 6; el punto S
se halla a la derecha de la deformación Eo y
el punto Y se halla a la izquierda
de Eo.
Figura 5
Puntos
notables en el modelo constitutivo del hormigón para el caso 1
Figura 6
Deformaciones
en el hormigón y en el acero para los puntos notables para el caso 2
En la figura 7 se aprecia que el punto Y se alcanza cuando el hormigón tiene un esfuerzo del 0.83 la
resistencia máxima, el punto S tiene
una esfuerzo del 0.9 la resistencia máxima pero en la zona descendente.
Figura7 Puntos notables en el modelo
constitutivo del hormigón para el caso 2
En los dos casos analizados se ha encontrado que el punto Y se halla asociado a esfuerzos en el
hormigón que varían entre el 0.7 y 0.83 de la resistencia máxima, el punto S tiene esfuerzos que varían entre 0.9
y 1.0 la resistencia máxima y el punto U no siempre está asociado con la
deformación máxima del hormigón Eu.
5. NIVELES DE DAÑO EN ELEMENTOS
En la nueva filosofía de diseño por desempeño se habla de ...daño leve.
moderado. extensivo y
completo... a nivel de estructura y cada uno de estos niveles de daño están
limitados por la distorsión de piso, Aguiar (2003), Vision
(2000).
Una sección de una viga ingresa al rango no lineal cuando supera la
curvatura de fluencia Øy y llega al colapso cuando se
alcanza la curvatura Øu.
Por lo tanto el rango de curvatura inelástica es igual a Øu. Øy. En este rango deben
producirse los cuatro niveles de daño indicados en el párrafo anterior.
El daño leve se define como el 30% de Øu . Øy
medido a partir de Øy' el daño moderado tiene también
una longitud igual al 30% de Øu .Øy,
el extensivo 20% de Øu . Øy y el completo 20% de Øu.Øy. En la figura 8 se indican estos niveles de daño para
el caso 1 de la viga analizada.
Cuando se diseñan los estribos por capacidad o cuando se realiza el
control del cortante horizontal en un nudo se utiliza la ecuación (7) para
encontrar la capacidad a flexión de una viga, la misma que considera que el
elemento va a ingresar al rango no lineal es decir que se va a dañar.
donde d
es la altura efectiva, b es la base de la sección. El valor de a que
toma en cuenta el incremento de resistencia en el acero al trabajar en la zona
de endurecimiento se considera igual a 1.25.
Figura 8 Niveles de daño en la viga del caso 1
Ahora
interesa conocer en que nivel de daño se encuentra este momento Mu. Para el ejemplo analizado este valor es igual a 6.827 Tm. En la figura 8 se ha colocado este punto y se aprecia
que está en la zona de daño moderado. Las
deformaciones y esfuerzos en el hormigón y en el acero que se
obtienen asociados al momento indicado, para el caso 1. son:
Ec = 0.005208, Fc=276.12
kg/cm2, Es=0.02909 y Fc = 4827.159 kg / cm2. Al dividir este último valor para Fy = 4200kg / cm2 se tiene que el valor a
sería 1.174.
En la figura 9 se tienen los respectivos niveles de daño para el caso 2
en que los estribos están espaciados cada 20 cm., y se coloca el momento Mu = 6.827 Tm., que dicho sea de
paso no depende de la cantidad de refuerzo transversal que tenga la viga y si
debería depender ya que los estribos aumentan la resistencia del hormigón.
Nótese en la figura 9, que el punto Mu se
encuentra prácticamente en el límite superior del daño moderado y está asociado
a las siguientes deformaciones y esfuerzos: Ec =
0.006189, fc=177.74 kg
/ cm2, Es=0.03146 y fs, =
4932.65kg / cm2. En este caso el valor de a 1.174. Evidentemente que para el
caso 2, el punto Mu está sujeto a mayores
deformaciones.
Lo que interesaba conocer era en que nivel de. daño
se encuentra el punto Mu en la forma en que se
utiliza para el diseño del refuerzo transversal por capacidad y para el control
del cortante horizontal en el diseño de nudos. Se ha encontrado en los dos
casos que está en la zona de daño moderado.
Similares observaciones se obtienen para cuando se utiliza estribos de 8
mm de diámetro espaciados a 10 Y 20 cm., en la viga
analizada.
Figura 9
Niveles de daño en la viga del
caso 2
6. CONCLUSIONES
El objetivo de este artículo era netamente didáctico se perseguía que el
lector conozca entre qué rangos varían las deformaciones y esfuerzos en el
hormigón y en el acero cuando se alcanzan los puntos Y. S Y U en un elemento
que trabaja a flexión y también los niveles de daño que se están considerando
en estos elementos en el análisis y diseño sísmico por desempeño.
De igual manera se hace hincapié en la necesidad de incorporar el punto
S en las relaciones momento curvatura ya que así se modela mejor el
comportamiento no lineal de los elementos que trabajan a flexión.
Las ideas generales están expuestas con dos ejemplos que se han
realizado se deja a un lector que desee profundizar más en el tema para que
analice una mayor cantidad de vigas y así tener conclusiones generales que
tendrían un mérito es que se están realizando con una curva constitutiva que
corresponde a un acero que se produce en el Ecuador.
REFERENCIAS
1. Aguiar R., (2003), Análisis Sísmico por Desempeño, Editorial ESPE,
Centro de Investigaciones Científicas, Escuela Politécnica del Ejército, 344p,
Quito.
2. Aguiar R., (2000), "Análisis de varillas de ANDEC y ADElCA", Consultaría solicitada por la Compañía ANDEC,
Quito.
3. Hognestad
E., Hanson N and McHenry D., (1955), "Concrete Stress Distribution in
Ultimate Strength Design", Journal ACI, 52
(6),455.479.
4. Park R..
priestley M and Gil! W.,
(1982), "Ductility of square confined concrete columns",
Journal of Structural Division, ASCE,
108 (4), 929-950.
5. SEAOc.
(1995), "Vision 2000 Report on performance based seismic engineering of
buildings", Structural Engineers
Association
of